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Question

(A) अतिपरवलय का समीकरण: $\frac{x^2}{\cos^2 	heta} - \frac{y^2}{\sin^2 	heta} = 1$.यहाँ,$a^2 = \cos^2 	heta$ और $b^2 = \sin^2 	heta$ है।उत्केन्द्रत

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$(3, \infty)$

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(A) अतिपरवलय का समीकरण: $\frac{x^2}{\cos^2 	heta} - \frac{y^2}{\sin^2 	heta} = 1$.यहाँ,$a^2 = \cos^2 	heta$ और $b^2 = \sin^2 	heta$ है।उत्केन्द्रता $e$ के लिए $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$ है।दिया है $e > 2$,अतः $e^2 > 4$,जिसका अर्थ है $\sec^2 	heta > 4$,या $	an^2 	heta > 3$ है।चूँकि $0  \sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $	heta \in (\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$ है।नाभिलंब की लंबाई $L = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \sin^2 	heta}{\cos 	heta} = 2 	an 	heta \sin 	heta$ है।जैसे-जैसे $	heta$,$\frac{\pi}{3}$ से $\frac{\pi}{2}$ की ओर बढ़ता है,$L = 2 	an 	heta \sin 	heta > 2(\sqrt{3})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 3$ होता है।अतः,नाभिलंब की लंबाई $(3, \infty)$ अंतराल में स्थित है।

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यदि ${m_1}$ और ${m_2}$ बिंदु $(6, 2)$ से गुजरने वाले अतिपरवलय $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$ की स्पर्श रेखाओं के ढाल हैं,तो:

रेखाओं $(x + y)t = a$ और $x - y = at$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए,जहाँ $t$ एक प्राचल (parameter) है।

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